Umeyama alignment
作者針對 m 維空間中已知對應關係的兩組點，推導使均方誤差最小的相似轉換（旋轉 R、平移 t、尺度 c）閉式解：先求兩組點的平均向量、變異數與交叉共變異矩陣，再對共變異矩陣做奇異值分解，並在其行列式為負時把對角符號矩陣 S 的最後一項設為 -1，以確保得到真正的旋轉而非反射；尺度與平移再由 S、奇異值與平均向量直接算出。作者指出 Arun 與 Horn 的解相當於不論行列式正負都取 S 為單位矩陣，在資料嚴重受擾時可能給出反射；本文解法適用任意維度，而四元數法僅適用三維。數值例中舊解以反射達成零誤差，新解則回傳誤差 0.533 的正常旋轉。
本頁內容
Closed-form least-squares similarity transform (R, t, c) between corresponding point sets in any dimension, via SVD of the cross-covariance with a sign correction that guarantees a proper rotation; Arun and Horn's solution corresponds to ignoring this sign.
技術屬性
欄位內容為文獻擷取紀錄的原文用語（英文），以原文為據；「未查證」表示本研究尚未讀到該資訊，不代表該方法不具備此能力。
| 感測輸入 | 未記錄 |
|---|---|
| 原文測試平台 | 未記錄 |
| 狀態估計 | closed-form least squares: SVD of the cross-covariance matrix Sigma_xy = U D V^T; R = U S V^T with S = diag(1,...,1,-1) when det(Sigma_xy) < 0 (or det(U)det(V) = -1 when rank = m-1), c = tr(DS)/sigma_x^2, t = mu_y - c R mu_x; minimum error sigma_y^2 - tr(DS)^2/sigma_x^2 |
| 資料關聯 | known point correspondences |
| 時間表示 | 不適用 |
| 去畸變 | 不適用 |
| 迴圈閉合 | 不適用 |
| 全域最佳化 | 不適用 |
| 地圖表示 | 不適用 |
| 先驗資訊 | 不適用 |
| 可輸出幾何 | 不適用 |
| 計算需求 | 不適用 |
使用設備
尚未收錄此方法的設備紀錄；設備資料仍在分批查證，沒有紀錄不代表原文未使用任何設備。
作者報告的優勢與限制
優勢
- Always yields a proper rotation even with corrupted data (abstract, Sec. IV)
- Closed form valid in any dimension, whereas the quaternion method is limited to 3D (Sec. IV)
- Gives the minimum mean squared error in closed form (Eq. 33)
限制
- Requires known point correspondences (problem statement, Sec. I)
- Unique solution requires rank(Sigma_xy) >= m-1; the author states this holds with more than two distinct points in 2D and more than three non-collinear points in 3D (Sec. IV)
- (inference) Plain least squares with equal weights: no robustness to outlier correspondences and no uncertainty output
營建工程相關證據
原文未報告（通用方法）；Hilti-Oxford 以 SE(3) Umeyama 對齊控制點後計分（Zhang et al., 2023c）。
報告的性能數據
以下是原文作者報告的性能數值（author-reported results），不是本研究重新量測的結果。每張圖只並列同一個比較組（comparison group，同一張表、同一組實驗設定）內的方法；不同比較組之間的數值不可直接比較，也不構成排名。
本方法共出現在 1 個比較組，合計 1 筆紀錄。
Umeyama, 1991 · Text Sec. III 本方法 1 筆
指標least mean squared error e2 of the returned transform
資料集與序列numerical example (Fig. 1) · 3 point pairs in 2D
表格設定（擷取紀錄原文）：Numerical example with three 2D point pairs (Fig. 1); least mean squared error of the returned similarity transform. (Umeyama, 1991, Text Sec. III)
least mean squared error e2 of the returned transform，numerical example (Fig. 1) · 3 point pairs in 2D
只並列這張表在相同設定下報告的方法；以「本方法：」開頭者為本頁方法。失敗、未執行與未報告以標記呈現，不是 0。
按 Tab 進入圖表後，用上下方向鍵逐一瀏覽各類別，Esc 關閉提示框；也可開啟表格檢視閱讀全部數值。
這些是 Umeyama, 1991 在此表設定下報告的數值（author-reported results），只能在同一個比較組內對照，不代表方法在其他資料或設定下的表現。
資料來源作者報告值(Umeyama, 1991, Text Sec. III)
| 方法（原文寫法） | 報告值 | 出處 |
|---|---|---|
| Arun and Horn's method (equivalent to S = I) | 0有附註註記（擷取紀錄）：other: perfect fit but R = diag(-1, 1) is a reflection, not a rotation (Eq. 63, Fig. 2) | (Umeyama, 1991, Sec. III, Eq. 63) |
| proposed closed-form solution (Theorem, Eq. 40-43)本方法原文提出 | 0.533有附註註記（擷取紀錄）：other: proper rotation returned (R with entries 0.832 and 0.555, c = 0.721, t = (-0.800, 0.400)), Eq. 64, Fig. 3 | (Umeyama, 1991, Sec. III, Eq. 64) |
來源
Umeyama, 1991
（1991）Least-squares estimation of transformation parameters between two point patternsIEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 13(4):376-380
同儕審查已出版已讀全文經典