點雲配準

配準要解什麼問題

給定來源點雲 $P=\{p_i\}$ 與目標點雲 $Q=\{q_j\}$，配準（registration）要找出一個剛體轉換（rigid transformation） $T=(R,t)$，使轉換後的來源點與目標幾何最吻合。$R$ 是三維旋轉、$t$ 是平移，合計六個自由度。多數方法可寫成下列一般形式：

$e_i$ 是第 $i$ 個對應的殘差，$\rho$ 決定殘差如何計分。本頁介紹的方法，差別主要在三處：如何建立對應（correspondence）、殘差如何定義，以及 $\rho$ 是否壓低離群值的影響。

在 LiDAR SLAM 中，配準可以是掃描對掃描，也可以是掃描對局部地圖。例如 KISS-ICP 以點對點 ICP 將每一幀對齊局部體素地圖 (Vizzo et al., 2023, Sec. III)，X-ICP 則以點對平面 ICP 將掃描對齊地圖 (Tuna et al., 2024, Sec. IV, VI)。估得的位姿決定該幀每個點落在地圖上的位置；去畸變之後，同一幀的點以同一個位姿轉入地圖，因此共同承受該位姿的誤差。

把流程拆開看有助於比較。Rusinkiewicz 與 Levoy 將 ICP 變體拆成選點、配對、加權、剔除、誤差度量與最小化六個階段 (Rusinkiewicz & Levoy, 2001, Sec. 1)。Pomerleau 等人指出 ICP 變體數以百計、效能依環境與感測器而異，卻缺乏比較框架，因此在公開的 Challenging Laser Registration 資料上提出比較協定：六種環境各取 35 組重疊率 0.30 至 0.99 的掃描對，再對真值位姿加入三級擾動；同文釋出開源函式庫 libpointmatcher，把 ICP 流程模組化為資料濾波、資料關聯、離群值濾除、誤差最小化與轉換檢查 (Pomerleau et al., 2013, abstract; Sec. 3-5)。Babin 等人把此流程概括為資料點濾波、資料關聯、離群濾波與誤差最小化四個階段，並說明它以 Rusinkiewicz 與 Levoy 的分類為基礎 (Babin et al., 2019, Sec. I)。Pomerleau 等人的綜述則提出配準的形式化框架，把點雲來源、轉換函數與初始轉換、資料濾波、關聯、離群值濾除與誤差最小化視為可替換的模組，主張眾多演算法可依少數要素區分 (Pomerleau et al., 2015, abstract; Ch. 2)。

ICP：交替求對應與求位姿

迭代最近點（Iterative Closest Point, ICP）由 Besl 與 McKay 提出：每次迭代為來源點找目標上最近的點，再以 Horn 的單位四元數封閉解求最小平方剛體轉換並更新位姿，直到均方誤差的變化小於門檻 (Besl & McKay, 1992, Sec. III-C, IV-A)。作者證明此演算法對均方距離單調收斂到最近的局部極小值，因此需要足夠好的初始位姿；全域配準則須從多組初始旋轉逐一執行，局部配準另加多組初始平移 (Besl & McKay, 1992, abstract; Sec. IV-B, V)。作者也指出，資料中若有相當部分不對應模型，此方法並不適用，且容易受粗大離群值影響 (Besl & McKay, 1992, Sec. V-C, VII)。Zhang 幾乎同時獨立提出迭代點匹配：以 k-D tree 找最近點，並依每輪配對距離的平均值與標準差動態設定最大容許距離，剔除離群點、遮蔽以及出現或消失的點 (Zhang, 1994, Sec. 3.1-3.3)；GICP 論文也以對應選擇階段的穩健離群剔除區分兩者 (Segal et al., 2009, Sec. I)。Zhang 的方法同樣只收斂到最近的局部極小值，作者並指出平坦地面有許多相近的局部極小值，表現不如起伏地形 (Zhang, 1994, Sec. 7.6, 9)。

點對點誤差

$c(i)$ 是第 $i$ 個來源點在目前位姿下的最近目標點。對應固定時，這是有封閉解的最小平方問題：Arun 等人先以兩組點的質心分離平移與旋轉，再對 3×3 矩陣做奇異值分解求得最小平方旋轉，平移則由質心差求得；若行列式為負，得到的是鏡射而非旋轉，需另行處理 (Arun et al., 1987, Sec. II-V)。Besl 與 McKay 則採用四元數解，理由是二維與三維配準不希望出現鏡射 (Besl & McKay, 1992, Sec. III-C)。「迭代」來自對應會隨位姿改變：更新位姿後重新找最近點，再解一次。

標準 ICP 隱含兩片點雲完全重疊、點與點精確對應的假設；部分重疊時須設定最大對應距離（maximum match distance） $d_{\max}$，捨棄過遠的配對 (Segal et al., 2009, Sec. II-A)。

點對平面誤差

$n_{c(i)}$ 是目標點的表面法向量。點對平面（point-to-plane）只計算沿法向的距離，不懲罰點沿表面滑動；GICP 論文把它的優點說明為可減輕兩次掃描在同一表面上取樣位置不同所造成的離散化問題 (Segal et al., 2009, Sec. II-B)。此形式出自 Chen 與 Medioni 的多視角距離影像建模研究，但原始版本並不以最近點配對：作者假設兩個視角已近似配準，在來源曲面的平滑區域以規則格點選取控制點，沿控制點的法向線與目標曲面求交，再最小化控制點到交點切平面的有號距離平方和 (Chen & Medioni, 1992, pp. 147-150)。作者指出點可在切平面內滑動，使各控制點的約束較少互相衝突，收斂比固定點對更快 (Chen & Medioni, 1992, p. 148)。上式沿用前面以最近點 $c(i)$ 配對的寫法，與原始版本的配對方式不同。

誤差定義仍在演變。Rusinkiewicz 提出對稱化的目標函數：以對應點兩側法向量的和作為誤差方向，並把旋轉拆成兩半、以相反方向分別作用於兩個表面，使兩點與法向量落在同一局部二次曲面上時殘差為零 (Rusinkiewicz, 2019, Sec. 3.2-3.3, 4.1)。在 dragon 模型、部分重疊的 bunny 掃描與一組 TUM RGB-D 室內掃描上，每次迭代的誤差下降都快於點對點與點對平面等誤差，Levenberg-Marquardt 版本在 20 次迭代時收斂範圍最寬；但測試只用物件尺度資料，沒有 LiDAR 或大尺度場景 (Rusinkiewicz, 2019, Sec. 4.3-4.4)。GenZ-ICP 的作者主張單一誤差各有弱點：點對平面在長廊等退化場景容易病態，點對點在結構化場景精度較低；因此依鄰域平面度為每個點選用點對平面或點對點殘差，並自適應調整兩者權重 (Lee et al., 2025a, Sec. I, III)。KISS-ICP 則刻意回到點對點 ICP，只保留等速運動預測、體素降採樣、自適應對應門檻與穩健核函數等少數元件，作者報告在車載、無人機、Segway 與手持資料上使用同一組七個參數 (Vizzo et al., 2023, Sec. III-IV; Table I)。

在互動圖中觀察

下方互動圖以 2D 合成掃描重現同一個流程。建議依序嘗試：

1. 在「房間角落」切換兩種誤差定義，比較迭代次數與最終位姿誤差。
2. 逐步加大初始旋轉，找出不再收斂到正確位姿的範圍；這對應 ICP 只收斂到附近局部極小值的性質 (Besl & McKay, 1992, abstract)。
3. 加入離群點，再調小最大對應距離，觀察門檻同時剔除離群與正確配對的取捨。
4. 切到「長走廊」，留意殘差很小、位姿卻沿走廊方向偏移的情形，再對照下文的幾何退化。

離群值與穩健化

真實掃描的對應含有錯誤配對：部分重疊、移動物體、遮蔽與雜物都會產生沒有正確對應的點，即離群值（outlier）。穩健化的做法是以穩健核函數（robust kernel） $\rho$ 取代平方計分，壓低大殘差的影響；常見解法是反覆加權最小平方（iteratively reweighted least squares, IRLS），每輪依目前殘差重算權重（$s$ 為尺度參數）：

Babin 等人在 libpointmatcher 的點對平面 ICP 中只替換離群濾波階段，以類似 IRLS 的方式（把 $\rho$ 分解為權重與平方誤差）比較 14 種穩健函數（含 L1、Huber、Cauchy、Geman-McClure、Welsch、Tukey、Student、最大距離與修剪等），總計超過兩百萬次配準 (Babin et al., 2019, Sec. I-II; Tables I-II)。資料來自具毫米級真值的三種環境：結構化建物、半結構化涼亭與非結構化樹林，重疊率取樣 40% 至 100% (Babin et al., 2019, Sec. IV)。

作者的結論是多數濾波器在適當調參後表現相近；Cauchy、Cauchy MAD 與變動修剪（Var. Trim.）在不同環境下較穩定，無參數的 L1 也有可比的精度 (Babin et al., 2019, Sec. VI)。在校園室內外的即時 SLAM 測試中，所有變動修剪設定都在一段狹窄走廊無法正確收斂；該測試的參考軌跡是同一 ICP-SLAM 的離線結果，並非獨立量測 (Babin et al., 2019, Sec. V-B; Fig. 4)。

另一條路線是減少人工調參。Sparse ICP 對每組對應的殘差向量施加 p 介於 0 與 1 之間的 ℓp 範數，以交替方向乘子法（ADMM）求解，取代修剪或重新加權對應點的經驗法則 (Bouaziz et al., 2013, Sec. 4-5)；作者也指出最近點步驟仍受目標幾何中的離群值影響，兩片點雲初始相距過遠時仍會落入錯誤的局部極小值，且 p 越小收斂越慢 (Bouaziz et al., 2013, Sec. 7; Figs. 9, 11)。Chebrolu 等人以 Barron 的一般化穩健損失為基礎，把控制核形狀的參數當成未知數，交替以一維格點搜尋求形狀參數、以反覆加權最小平方求模型參數 (Chebrolu et al., 2021, Sec. III)；整合進 SuMa 的點對平面 ICP 後，在 KITTI 里程計序列上不需人工離群值剔除即得到最低的平均平移誤差（2.03%，SuMa 的手工剔除規則為 2.90%），但平均旋轉誤差並非最低，尺度參數也仍須事先固定 (Chebrolu et al., 2021, Sec. IV-A, V; Table I)。KISS-ICP 的對應距離門檻依觀測到的運動模型偏差自適應調整，作者在 KITTI 上將其與 0.3 至 2.0 m 的固定門檻比較，平均誤差不劣於任一固定門檻（0.50% 對 0.51% 至 0.53%） (Vizzo et al., 2023, Table VI)。

以分布取代點：NDT 與 GICP

NDT：不建立點對應

常態分布轉換（Normal Distributions Transform, NDT）把空間切成網格，每格以常態分布描述落在其中的點，使掃描成為分段連續、可微的機率密度；另一次掃描直接以牛頓法對此密度最佳化，不需建立明確的點對應 (Biber & Strasser, 2003, Sec. III-V)。Biber 與 Strasser 的原始版本是二維，以 100 cm 見方、至少含三點的格子建立分布，並用四組錯開半格的重疊網格降低離散化影響 (Biber & Strasser, 2003, Sec. III)。作者以 SICK 二維雷射掃描儀在實驗室與走廊的一趟室內路線上不用里程計完成建圖，但沒有真值精度評估，是否適用於結構較少或戶外的場景也留待後續研究 (Biber & Strasser, 2003, Sec. VIII-IX)。

Magnusson 等人將其推廣為三維（3D-NDT），在瑞典 Kvarntorp 礦坑資料上與 ICP 比較：迭代細分加無限外界的版本在 50 對機器人掃描中高精度配準 45 對，相同取樣比例下通常比 ICP 快將近三倍，但初始誤差較大時比 ICP 更早失敗；格子大小也須依場景選擇，該礦坑以約 1 至 2 m 較合適 (Magnusson et al., 2007, Sec. 4.2, 5.2)。其中兩組資料的參考位姿是從多次配準結果目視挑選後取平均，並非獨立量測 (Magnusson et al., 2007, Sec. 5.1-5.2)。Stoyanov 等人的 D2D-NDT 把兩次掃描都轉為 3D-NDT 模型，只在彼此最近的高斯成分之間計算兩組分布的 L2 距離，並在 4、2、1、0.5 m 的網格上逐層以牛頓法最小化 (Stoyanov et al., 2012, Sec. 3.2-3.3, 6.2)；在 AASS 室內迴圈與 Hannover2 戶外資料上，精度與 ICP 及點對分布 NDT 相當、速度較快，但未初始化時在走廊與局部相似的幾何中會失敗，在稀疏的戶外資料上各方法也都有大量失敗 (Stoyanov et al., 2012, Sec. 6.2)。Magnusson 等人 2015 年的比較研究把 NDT 分為兩種用法：點對分布（P2D）以移動掃描的各點對參考掃描的高斯分布計分，分布對分布（D2D）則兩側都先轉為高斯分布再相互配對 (Magnusson et al., 2015, Sec. III)。

NDT 的結果與體素大小有關。Koide 等人在八條 HDL-32E 實測序列（每條約 120 m）上報告，NDT 在體素解析度 1.0 m 時最準，改為 0.5 m 或 4.0 m 時精度明顯下降；其誤差參考是以 GICP 對齊末幀與首幀所得的相對位姿 (Koide et al., 2021b, Sec. IV-B; Table II)，並非獨立量測（推論）。

GICP：兩側都有共變異數

Segal 等人的廣義 ICP（Generalized-ICP, GICP）把每個點視為來自高斯分布，將最小化步驟改寫為最大概似估計（maximum likelihood estimation） (Segal et al., 2009, Sec. III-A)。在對應正確、兩側點都為高斯分布的假設下，最大概似估計等價於最小化下列馬氏距離（Mahalanobis distance）（$C^{P}_i$、$C^{Q}_{c(i)}$ 為兩側點的共變異數）：

作者依局部平面假設設定共變異數：沿表面法向很小、沿平面方向很大，由每點 20 個最近鄰的主成分分析估得，形成「平面對平面」配準 (Segal et al., 2009, Sec. III-B)。在此框架下，點對點與點對平面分別是其特例與極限情形 (Segal et al., 2009, Sec. III-A)。

作者報告 GICP 在模擬與實車資料上優於標準 ICP 與點對平面，且因不一致的對應會被降權，較不受 $d_{\max}$ 選擇的影響；在實車 Velodyne 資料上，GICP 取最差的 $d_{\max}$ 時，與點對平面取最佳的 $d_{\max}$ 時大致相當 (Segal et al., 2009, Sec. IV)。限制也來自同一假設：實測資料中的高頻結構會產生方向相同但錯誤的對應，模型並未處理，離群項則留待未來工作 (Segal et al., 2009, Sec. IV-V)。實車資料的參考位姿來自結合 GPS 與 IMU 的成對約束 SLAM，作者自己也說明這不是完美的真值，只是合理的比較基準 (Segal et al., 2009, Sec. IV)；結果只以圖呈現，沒有數值表（本站觀察）。

體素化與實作

VGICP 以體素化取代耗時的最近鄰搜尋：每個體素彙整其內各點的分布，而非像 NDT 直接由點位置計算分布，形成分布對多分布的對應 (Koide et al., 2021b, Sec. III)。作者報告在約 15,000 點的點雲上，CPU 約 30 Hz、GPU 約 120 Hz（Core i9-9900K 與 RTX 2080 Ti），精度與 GICP 相當，且對體素解析度較 NDT 不敏感 (Koide et al., 2021b, abstract; Sec. I, IV-A, IV-B; Table II)；也指出初始值離真值很遠時，體素化可能影響收斂 (Koide et al., 2021b, Sec. V)。

small_gicp 是 fast_gicp 的重寫，提供點對點、點對平面與 GICP 誤差、穩健核，以及 Gauss-Newton 與 Levenberg-Marquardt 最佳化器；JOSS 論文報告單執行緒 GICP 約為 pcl::GICP 的 2.4 倍速度，論文所指的 BENCHMARK.md 顯示這些基準都只用 KITTI 00 序列 (Koide, 2024, Benchmark results; BENCHMARK.md)；基準以速度為主，除與 fast_vgicp 的結果比對外，未報告工程資料上的精度（本站觀察）。

同一資料、同一協定下的 ICP 與 NDT

不同論文的精度數字不能直接比較，因為資料、參數與參考量測都不同。Magnusson 等人 2015 年的研究在同一公開資料與協定下比較：使用 ETH 的 Challenging 資料集與以全測站追蹤、作者稱達毫米級精度的真值位姿，對 P2D-NDT、D2D-NDT、平面片全域配準 MUMC 與 libpointmatcher 的點對平面 ICP 進行超過十萬次配準 (Magnusson et al., 2015, Sec. I, IV)。六個環境包括公寓、樓梯、有柱列的大廳，以及公園涼亭、樹林與高山平原 (Magnusson et al., 2015, Sec. IV)。

作者報告在重疊率低或初始對位差時，NDT 與 MUMC 整體而言比 ICP 穩健；只看大重疊的掃描對時，ICP 的結果較接近 NDT (Magnusson et al., 2015, Sec. V-A, VI)。作者也指出協定本身的限制：初始偏移常不符合實際、重疊率普遍偏低，且執行時間在不同電腦上量測，速度只能粗略比較 (Magnusson et al., 2015, Sec. I, IV-A, V-C)。

全域配準：沒有初始位姿時

前述 ICP、NDT 與 GICP 系列都是局部方法，需要落在收斂範圍內的初始位姿 (Besl & McKay, 1992; Segal et al., 2009; Koide et al., 2021b; Magnusson et al., 2015)；上一節提到的 MUMC 則屬全域方法。全域配準（global registration）不依賴初始值，常見流程是先以特徵描述子（feature descriptor）建立候選對應，再以穩健估計從大量錯誤對應中找出轉換。

描述子與取樣一致

Rusu 等人的 FPFH 先為每點計算簡化的點特徵直方圖，再依距離加權鄰點的直方圖，使複雜度由 $O(nk^{2})$ 降為 $O(nk)$，仍保留多數鑑別力 (Rusu et al., 2009, Sec. III)；同文提出以取樣一致性（sample consensus）為基礎的初始對齊 SAC-IA：從特徵相似的點中隨機抽取對應求剛體轉換，以 Huber 懲罰評分，把兩片點雲帶入局部最佳化器的收斂範圍 (Rusu et al., 2009, Sec. IV)。其驗證只有 Stanford bunny 與一組都市戶外點雲，配準結果只以圖呈現，沒有量化精度（本站觀察） (Rusu et al., 2009, Sec. II-V)。RANSAC 原是以最少樣本假設模型、再以一致集合驗證的穩健擬合範式，原始應用是由已知地標的影像求相機位置，並非點雲配準 (Fischler & Bolles, 1981, Sec. II-IV)；用於配準時，每次取樣一組候選對應求出對齊並評估，找到滿意結果後交給 ICP 等局部方法精修 (Zhou et al., 2016, Sec. 1)。Fischler 與 Bolles 推導出所需試驗次數的期望值為 $w^{-n}$（$w$ 為內點比例，$n$ 為每次取樣的點數） (Fischler & Bolles, 1981, Sec. II.B)，TEASER 論文也指出 RANSAC 的執行時間隨離群比例呈指數成長 (Yang et al., 2021, Sec. I)。

穩健目標與漸進非凸化

FGR 先以 FPFH 特徵的雙向最近鄰建立候選對應，再以互為最近鄰與三元組邊長比例檢驗提高內點比例；之後對這組固定的對應直接最佳化單一穩健目標（縮放的 Geman-McClure 估計子），藉 Black-Rangarajan 對偶以交替最佳化與漸進非凸化（graduated non-convexity, GNC）求解，內迴圈不需重新找對應 (Zhou et al., 2016, Sec. 3.1-3.3)。作者在合成距離資料、UWA 基準與 Choi 等人的全域配準基準上測試，報告不需初始值，精度可比或優於既有全域配準流程，且至少快一個數量級，合成資料每對平均 0.22 秒（單執行緒 Core i7-5960X） (Zhou et al., 2016, abstract; Sec. 5.1; Table 2)；不過在 Choi 等人的場景基準上，其召回率低於 CZK（51.1% 對 59.2%） (Zhou et al., 2016, Table 5)。

Yang 等人把 Black-Rangarajan 對偶與 GNC 結合為通用框架：任何在無離群值時可用的非最小解算器，都能透過交替的加權最小平方與權重更新延伸為穩健求解，不需初始猜測 (Yang et al., 2020b, Sec. III-IV)。作者在點雲配準、位姿圖最佳化與形狀對齊上報告可承受約 70% 至 80% 的離群值，但也明言無法保證全域最佳；在 Bunny 點雲配準中，RANSAC 與各 GNC 版本都在 90% 離群值時失效，旋轉與平移誤差也高於專用的全域解算器 TEASER (Yang et al., 2020b, abstract (arXiv v4); Sec. V-A)。三類實驗的離群值都是在公開基準上人工注入，未評估真實前端產生的離群值（本站依實驗設定判讀） (Yang et al., 2020b, Sec. V-A to V-C)。作者並指出，在點雲配準中 GNC-GM 基本上等同 FGR (Yang et al., 2020b, Sec. V-A)。

可驗證與全域最佳的方法

TEASER 以截斷最小平方（truncated least squares）成本處理大量錯誤對應，將尺度、旋轉與平移解耦後依序求解，並以最大團剔除離群對應；TEASER++ 以 GNC 求旋轉，並以 Douglas-Rachford 分裂計算最佳性證書（optimality certificate），用來辨識不可靠的結果 (Yang et al., 2021, abstract; Sec. X)。作者報告在尺度已知的基準上可承受超過 99% 的離群值；但尺度未知時在 90% 離群值即失效，單獨的 GNC 旋轉解算器也在約 80% 以上的離群值失效，因此 TEASER++ 依賴最大團剔除 (Yang et al., 2021, Sec. X, XI-A, XI-B)。

同一篇論文也展示失效案例：3DMatch 的 Hotel 3 場景中，對稱的關鍵點分布使正確內點不在最大團內，得到 180 度的錯誤解 (Yang et al., 2021, Fig. 11)；正確對應少於 3 組時無法成功，作者指出以現有描述子這種情形並不罕見 (Yang et al., 2021, Sec. XI-E)；在 3DMatch 上計算最佳性證書（TEASER++ CERT）平均約需 238 秒，雖然多數案例在 100 秒內完成 (Yang et al., 2021, Sec. XI; Table II)。Go-ICP 以分支定界（branch and bound）在 SE(3) 中搜尋 ICP L2 誤差的全域最佳解，結果不受初始值影響；作者在 bunny 與 dragon 的 2,000 次部分對完整配準中全部成功，但每次需數秒至數分鐘，實驗資料也降採樣至 1,000 點以下，因此作者建議用於不要求即時的情境，或作為最佳性的比較基準 (Yang et al., 2016, Sec. 6.2-6.4, 7)。Bueno 等人也指出其可處理的資料量有限 (Bueno et al., 2018, Sec. 2)，FGR 的比較同樣依 Go-ICP 作者的建議把輸入降採樣至 1,000 點 (Zhou et al., 2016, Sec. 5)。

LiDAR SLAM 中的全域配準

Quatro++ 針對 LiDAR SLAM 迴圈閉合的全域配準，處理機械旋轉式 LiDAR 點雲稀疏，以及離群剔除後剩不到三個內點所造成的退化 (Lim et al., 2024, abstract; Sec. 1)。方法先以地面分割移除幾何資訊少的地面點，並假設載具以偏航旋轉為主；代價是放棄相對滾轉與俯仰的估計，需由慣性導航補償 (Lim et al., 2024, Sec. 4.1, 5.5)。作者也指出在類似走廊的場景中，部分失敗案例的均方誤差很低，使錯誤迴圈難以剔除 (Lim et al., 2024, Sec. 5.3)。量化評估使用 KITTI 與 MulRan 車載資料及 NAVER LABS 室內資料，手持的 HiltiOxford 資料只做定性的可行性展示，且須先以慣性導航補償滾轉與俯仰 (Lim et al., 2024, Sec. 6.1, 7.5; Fig. 18)。

KISS-Matcher 組合地面分割等幾何抑制、改良自 FPFH 的 Faster-PFH、以 k-core 為基礎的圖論離群剔除與 GNC 求解器 (Lim et al., 2025, Sec. III)。作者在 KITTI、MulRan 與以 FAST-LIO2 產生的多機器人地圖點雲上測試，報告體素化後點數超過 20 萬時，相對 TEASER++ 全流程加速 20 倍以上，且最終內點數可用來剔除失敗案例 (Lim et al., 2025, Sec. IV; Figs. 1, 5)；不過單獨使用時的平移誤差（18.10 cm）高於多數比較方法，加上 G-ICP 精修後降至 1.10 cm；地圖層級的測試也只有定性結果（本站觀察） (Lim et al., 2025, Table I; Fig. 6)。同文也報告學習式方法 Predator 以 KITTI 訓練後在 MulRan 上效能下降，兩者都使用 64 線 LiDAR 但掃描樣式不同 (Lim et al., 2025, Fig. 5)。

學習式特徵與配準方面，FCGF 以 Minkowski Engine 稀疏卷積構成的 ResUNet 一次算出整片點雲每個體素的 32 維特徵，再以 RANSAC 求轉換；作者報告在 3DMatch 上平均配準召回率 0.82（FPFH 為 0.40），在 KITTI 上成功率為 97.83% 至 98.92% (Choy et al., 2019, Sec. 4-6; Tables 5-6)。GeoTransformer 先比對降採樣的超點再傳播到稠密點，並以局部到全域的估計取代 RANSAC；作者報告在低重疊的 3DLoMatch 上內點率提高 18 至 31 個百分點、配準召回率提高 7 個百分點以上，但骨幹網路不具旋轉不變性，大旋轉時效能下降，大範圍輸入的記憶體與計算成本也高 (Qin et al., 2023, abstract; Sec. 3.4, 4.2, 4.4, 5)。兩者的模型都是在各基準上分別訓練，測試資料為室內 RGB-D 片段與車載 LiDAR 等公開基準 (Choy et al., 2019; Qin et al., 2023)。上述 Predator 的例子顯示，跨感測器與跨場域的泛化需要在營建資料上另行驗證（推論）。

幾何退化、可定位性與不確定性

配準要唯一決定六個自由度，場景幾何必須在每個方向上提供約束。只有兩道平行牆的長走廊，無法約束沿走廊的平移；X-ICP 的作者把隧道、開闊平面與狹窄走廊列為這類幾何退化（degeneracy）環境，並在瑞士一處營建工地觀察到開闊平坦地面使沿地面的平移與偏航缺乏約束 (Tuna et al., 2024, abstract; Sec. VII-E)。判斷各方向能否由當前幾何確定，稱為可定位性（localizability）分析。

Gelfand 等人指出，若 ICP 的對應點大量取自缺乏特徵的區域，演算法可能收斂緩慢、得到錯誤位姿甚至發散 (Gelfand et al., 2003, abstract)；作者以點對平面 ICP 線性化後 6×6 共變異數矩陣的條件數衡量幾何穩定度，貪婪選取能約束目前最弱方向的點，在合成的溝槽平面上以 30% 的點把條件數由 66.1 降至 3.7 (Gelfand et al., 2003, Sec. 2-3, 5; Fig. 4)；但雜訊區域可能被誤當成特徵而吸引取樣 (Gelfand et al., 2003, Sec. 5; Fig. 11)。Rusinkiewicz 與 Levoy 的合成測試中，「平面加細小刻痕」場景即使初始旋轉很小，也使多數 ICP 變體無法收斂 (Rusinkiewicz & Levoy, 2001, Sec. 2)；作者提出依法向空間均勻取樣，改善這類細小特徵稀疏場景的收斂 (Rusinkiewicz & Levoy, 2001, Sec. 5)。

從 Hessian 看退化

以點對平面為例，把目前位姿附近的旋轉增量線性化為小角度 $\omega$、平移增量為 $\tau$。每個對應（轉換後的點 $p_i'$、法向 $n_i$）貢獻一列 Jacobian，Gauss-Newton 的法方程如下：

特徵分解中的 $\lambda_k$ 描述方向 $v_k$ 上的約束強度。特徵值很小的方向，殘差幾乎不隨位姿改變，最佳化在該方向上缺乏資訊。長走廊的牆面法向都垂直於走廊，沿走廊的平移使 $n_i^{\top}\tau$ 幾乎為零，對應的特徵值接近零。以上是一般的線性代數推導；互動圖讀數中的「最弱/最強特徵值比」即依同一概念，在正確對位下以 2D 點對線誤差計算，因此反映的是場景幾何本身的約束，而非當下迭代的狀態。

偵測與處理退化

Zhang、Kaess 與 Singh 以解對約束擾動的剛度定義退化因子（degeneracy factor），並證明它等於系統矩陣 $A^{\top}A$ 的最小特徵值加一，對應的特徵向量即為最退化的方向；以門檻判定退化方向後，最佳化只在條件良好的方向更新，退化方向保留預測值（solution remapping） (Zhang et al., 2016, Sec. IV; Alg. 1)。門檻由一組同時含良好與退化場景的樣本資料經驗決定，設在兩群最小特徵值之間的中點 (Zhang et al., 2016, Sec. IV-B; Fig. 4)。作者以手持相機與旋轉式雷射在走廊、平坦地面與 538 m 的室內外路線上測試，終點位置誤差為行進距離的 0.71% (Zhang et al., 2016, Sec. VI; Fig. 10)。

X-ICP 分析每組對應在 Hessian 主方向上的貢獻，旋轉與平移分開處理，把每個方向分為可完全、部分或無法定位；無法定位的方向以等式約束凍結更新，部分可定位的方向以重新取樣的高貢獻對應求得約束值，再以拉格朗日乘數併入掃描對地圖的點對平面 ICP (Tuna et al., 2024, Sec. V-A, VI)。作者指出 Zhang 等人的單一特徵值門檻難以套用，因為旋轉與平移的特徵值尺度不同 (Tuna et al., 2024, Sec. VII-E)；X-ICP 自身的限制是對初始值品質敏感，先驗很差時無法可靠求解；對應過濾參數須依 LiDAR 型號重設，作者也計畫改善門檻隨感測器而定的選擇 (Tuna et al., 2024, Sec. V-B, VI-B, VIII)。

Hatleskog 與 Alexis 的 DRPM 把點與法向量的雜訊傳遞到點對平面的 Hessian，計算每個特徵方向上訊號明顯大於雜訊的機率；更新時不用硬門檻，而以此機率縮放特徵值倒數，平滑地衰減退化方向的更新，參數取自 LiDAR 規格書 (Hatleskog & Alexis, 2024, Sec. III, IV-B)。在 Seemühle 礦坑實驗中，作者報告全軌跡 APE 平均 0.04 m（標準差 0.02 m），Zhang、Hinduja 與 Lee 等人的方法分別為 0.57、0.18 與 0.78 m；在非隧道路段，DRPM 與 Hinduja 等人的方法同為約 0.02 m (Hatleskog & Alexis, 2024, Sec. IV-C; Table II)。

Tuna 等人 2025 年在同一套 ICP 流程中，比較主動式（等式或不等式約束、截斷奇異值分解、Tikhonov 正則化、solution remapping）與被動式（M 估計、穩定取樣）的退化處理，結論是缺乏可靠外部估計時需要主動處理 (Tuna et al., 2025, abstract; Sec. VI-C)；其中不等式約束與兩種 Tikhonov 正則化的參數是在單一隧道資料上以經驗調整的，未能同樣適用於其他環境，而在模擬中加入強雜訊的運動先驗時，除等式約束外幾乎所有方法都發散 (Tuna et al., 2025, Sec. IV-C, VI-C, VI-D)。Nubert 等人以神經網路直接由單一 LiDAR 掃描預測六個自由度是否可定位，只用模擬資料訓練，並用它取代 CompSLAM 中以特徵值門檻判斷退化的模組；礦坑隧道、開闊混凝土場地與辦公室的現地結果只以地圖與曲線定性展示，同一網路不需重新調參也能用於另一型 LiDAR (Nubert et al., 2022b, Sec. III, VI-B, VI-C)。Hinduja 等人在水下聲納建圖中，以最大與最小特徵值的比值作為動態門檻做退化感知 ICP，再以只約束 X、Y 與偏航的部分迴圈閉合因子加入位姿圖，其餘方向交由深度計與航姿系統的先驗，避免退化方向污染圖最佳化 (Hinduja et al., 2019, Sec. III, IV-B)；實際資料只以加入雜訊前的里程計解為參考做定性比較 (Hinduja et al., 2019, Sec. IV-D)。

退化也影響完整的里程計系統。COIN-LIO 的作者在以全測站量測真值（約 3 cm 精度）的 ENWIDE 退化場景資料上報告，KISS-ICP 在所有序列失敗，FAST-LIO2 只在具少量植被結構的場景避免發散，且仍有明顯漂移 (Pfreundschuh et al., 2024, Sec. IV-B, IV-C)。

配準的不確定性

配準結果需要附帶不確定性，後端最佳化才能正確加權。Censi 以隱函數定理由被最小化的誤差函數推導 ICP 共變異數的封閉形式，但只推導並測試二維（x、y、θ）的點對線段 ICP，驗證也限於三種合成環境的蒙地卡羅模擬；在正方形環境中，預測的標準差與模擬結果相近，明顯小於以 Hessian 估計的值 (Censi, 2007, Sec. III-V; Fig. 4)。CELLO-3D 的作者在三維的公開資料上實測，發現 Censi 的封閉形式估計小了數個數量級，並以約 510 萬次配準、1020 組真實點雲對學習共變異數；但在樹林等自相似環境中，改善幅度有限 (Landry et al., 2019, Sec. V-A, VI-A; Table II)。Brossard 等人主張 ICP 的不確定性取決於初始值（通常來自里程計）的不確定性，且若假設白雜訊，會因校正偏差等造成的偏誤而過度樂觀；他們以無跡轉換額外執行 12 次 ICP 來傳遞初始化不確定性，在同一公開資料的 1020 組配準上比 Censi 公式一致，但軌跡共變異數仍略為樂觀，且需事先給定初始化共變異數 (Brossard et al., 2020, abstract; Sec. III-V; Tables 1-2)。

方法對照表

下表只整理各方法「最小化什麼、假設什麼、文獻報告過什麼限制」，每列附來源。表中不列性能數字，也不代表排名；限制欄多來自作者自述或後續論文的測試，條件見正文與原文。

營建場域的配準證據

下表依場域類型分開陳述。施工中工地、已完工建築、地下礦坑與模擬資料的條件不同，本頁不把其中一類的結果外推到另一類；參考量測欄說明每項數字能否被獨立檢驗。

跨研究歸納

這些研究共同指出三類與營建場域相關的配準難點。第一是建物的對稱與自相似結構，Bueno 等人明確將其列為配準困難的原因 (Bueno et al., 2018, abstract)，Schaub 等人在多間相似房間的樓層中報告前段關鍵影格的配準成功率偏低、定位誤差增大 (Schaub et al., 2022, Sec. 4.3, 5)。第二是模型與現況的差異：臨時物件、雜物與尚未施作的構件，會誤導對 BIM 的配準 (Zhang et al., 2024b; Blum et al., 2021)。第三是開闊平坦區域與狹窄通道造成的幾何退化 (Tuna et al., 2024; Tuna et al., 2025)。

Rebolj 等人以 Kinect 2 掃描一處真實建物局部（18 個構件）時，合併三段部分掃描使點雲劣化：散布指標為 12%，依其與深度精度的對應關係約相當於 146 mm，遠差於感測器本身的 21 mm，並有 3 個缺漏構件被誤判為存在 (Rebolj et al., 2017, Sec. 4.3-4.4)。這顯示多段掃描的合併品質可能比感測器規格更直接影響 Scan-vs-BIM 的構件辨識，也是本站收錄的文獻中少數把點雲合併後的品質連到工程任務成果的例子（本站判讀）；但該資料並非施工中工地，而且論文假設點雲已與 BIM 對齊，未評估配準與定位誤差，並把部分點雲的合併列為未來工作，因此劣化是否主要來自對齊誤差，原文並未分析 (Rebolj et al., 2017, Sec. 2.2, 6)。

延伸閱讀

• 一個點如何落到地圖上：配準之前的量測、去畸變與座標轉換。
• 狀態估計與迴圈閉合：配準結果如何成為後端的約束。
• 誤差從哪裡來：配準誤差在整條誤差鏈中的位置。
• 三層評估：位姿、幾何與工程任務三個層次的驗證。
• 方法圖鑑：本頁提到的方法都有個別的方法卡。